Fältfunktioner

Fältfunktioner är funktioner som tilldelar varje plats i ett område ett värde. De används för att beskriva hur olika storheter är fördelade i rum och ofta över tid. En grundläggande uppdelning är mellan skalära fält, vektorfält och mer allmänna tensorfält.

Ett skalärt fält φ definierat på Ω är en funktion φ: Ω → R som ger ett reellt värde vid varje punkt. Ett vektorfält V definierat på Ω är en funktion V: Ω → R^n som tilldelar en vektor till varje punkt. Mer generellt kan ett fält vara en tensor av viss rank, definierad som en funktion som tilldelar varje punkt en linjär avbildning mellan relevanta rum. I differentialgeometri ses fält ofta som sektioner av ett fibermbund över basrum: skalära fält som sektioner av det triviala bandet Ω × R, vektorfält som sektioner av tangentbunten TΩ, och så vidare.

Derivativt beskriver man fältens variation med operationer som gradienten ∇φ, divergansen ∇·V och curlen ∇×V i tre dimensioner. I mer allmänna eller kurviga rum används covariant derivation ∇ eller Lie-derivator på tensorfälten.

Fysiska exempel är temperaturfält φ(x) eller hastighetsfältet V(x) i en vätska, samt elektromagnetiska fält E(x,t) och B(x,t). Fält kan vara tidsberoende: φ(x,t) eller V(x,t). Användningar finns inom fysik, geovetenskap, ingenjörsvetenskap och datorgrafik, där fält används för att modellera kontinuerliga medier och för att formulera och lösa differentialekvationer.