Extrémumok

Extrémumok (extrema) a valós függvények olyan pontjai, ahol a függvényérték helyi vagy globális kiemelkedést mutat. A helyi extrémum olyan pont, ahol a környezetéhez viszonyítva a függvény értéke a lehető legnagyobb (maximum) vagy a lehető legkisebb (minimum). Globális extrémum pedig az adott függvény értékét a teljes megadott tartományban a legnagyobb vagy legkisebb értékké teszi.

3501 1D-es eset: differenciálható függvényeknél a helyi extrémum gyakran a derivált zérushelyein vagy a derivált nem definiált pontjain található. Az elsőrendű feltétel szerint ha x0 egy helyi extrémum, akkor f'(x0)=0 vagy f' nincs értelmezve. A másodrendű teszt szerint ha f''(x0)>0, akkor lokális minimumról van szó; ha f''(x0)<0, lokális maximum; ha f''(x0)=0, további vizsgálat szükséges.

Többváltozós eset: f: D ⊂ R^n → R. Itt a helyi extrémumokhoz a gradiens ∇f(x0)=0 és a Hess-mátrix Hf(x0) vizsgálata szükséges. Pozitív definit Hessian: lokális minimum, negatív definit: lokális maximum, negatív/pozitív keveredés vagy negatív hatványú értékek: szendvics (saddle) pont. Degenerált esetben a másodrendű teszt nem elég, gyakran magasabb rendű vagy más módszerek szükségesek.

Globális extrémumok keresésekor fontos a domain és a funkcionalitás jellege. Kompakt domain esetén, kontinuális függvényre az extrémumok garantáltan léteznek (extremum-értékelés). Szabadabb vagy nem korlátozott tartományon a globális maximum/minimum nem feltétlenül létezik vagy nem érthető el.

Példák: f(x)=x^2 helyi és globális minimumt ad at x=0; f(x)=-x^2 helyi és globális maximumot ad ott; f(x)=x^3 nem rendelkezik helyi extrémummal. A funkcionális többváltozós példák: f(x,y)=x^2+y^2 minimuma (0,0)-ban, f(x,y)=x^2−y^2 helyi szintén saddle pontot ad az origóban.