extrémumokhoz

Extrémumoknak nevezzük a függvények olyan értékeit, amelyek a környezetükben helyi vagy globális legnagyobb vagy legkisebb értéket képviselnek. Az extrémumok két fő típusa a helyi (lokális) és a globális (abszolút) extrémum. Ezen belül beszélhetünk maxima és minima értékekről: helyi maximum, helyi minimum, illetve abszolút maximum és abszolút minimum. Egy függvénynek lehetnek együttesen több extrémuma is.

Az extrémumokhoz vezető feltételek közé tartoznak a belső (kritikus) pontok és a határértékek. Ha egy görbe differentiálisan értelmezett a zárt intervallumon, az extrémumok megtalálhatók a kritikus pontokban (ahol az első derivált zérus vagy nem értelmezett) és a végpontokban. A kritikus pontokra gyakran alkalmazzák az első derivált tesztet vagy a második derivált tesztet: a derivált zérushelyeinél a másodrendű derivált alapján ítélhető meg, hogy lokális maximum vagy minimum áll-e fenn. Konstraintes optimalizálás esetén a Lagrange-multiplikátorok módszerével találhatók extrémumok.

Létezésüket általános értelemben a Weierstrass-tétel garantálja: egy észlelés szerint folytonos függvény egy kompakt halmazon mindig eléri a maximumát és minimumát. Fontos, hogy eseményekbe és határokba ütköző feladatok esetén az értékek horizontálisan korrigálhatók, és a megoldások gyakran csak általános feltételek mellett bizonyíthatók.

Példák és alkalmazások széles területeken előfordulnak: matematikai analízis, gazdaságtan (haszon-maximalizálás), fizika (potenciálenergia-minimalizálás), számítástechnika és mérnöki tervezés. Az extrémumok meghatározása alapvető eszköz a optimalizációban.