Extremvärdesanalys

Extremvärdesanalys, eller extreme value theory (EVT), är en gren av sannolikhetslära och statistik som studerar egenskaperna hos extremvärden i en uppsättning slumpmässiga variabler, framför allt maxima och minima. Syftet är att beskriva hur sannolikheter beter sig i svansarna av fördelningar och att möjliggöra extrapolation till sällsynta händelser och återkomstnivåer utanför observerad data.

Grundläggande resultat visar att om X1, X2, ..., Xn är oberoende och identiskt fördelade med F och Mn = max{X1,...,Xn}, finns normaliseringssekvenserna a_n > 0 och b_n så att (Mn − b_n)/a_n konvergerar i fördelning till en limitfördelning G som tillhör en av tre typer: Gumbel (Type I), Fréchet (Type II) eller Weibull (Type III). Dessa tre typer beskriver olika tailbeteenden hos underliggande fördelningar. I Peaks Over Threshold-metoden (POT) antas att överskott över en vald tröskel u följer en Generalized Pareto Distribution (GPD) med formparameter xi.

De vanligaste metoderna innehåller block maxima-metoden, där tidsserier delas in i block och blockmaxima modelleras med extremvärdesfördelningar, samt POT-metoden för överskott över tröskel. Estimering görs ofta via Maximum Likelihood, L-moments eller bayesianska metoder; diagnostik kan använda QQ-plot, return level-plot och andra grafiska verktyg.

Användningsområden omfattar hydrologi, meteorologi, miljövetenskap, finansrisker och andra områden där riskbedömning av mycket sällsynta händelser är viktig. Viktiga praktiska överväganden inkluderar antaganden om oberoende och stationaritet, val av tröskel eller blockstorlek samt påverkan av icke-stationaritet och små urval. Historiskt utvecklades EVT i arbete av Fisher och Tippett samt Gnedenko, som formulerade de universella limitfördelningarna för maxima.

---