Exponenciálny

Exponenciálny je prídavné meno používané v matematike a prírodných vedách na označenie procesu, ktorý rastie alebo klesá podľa exponenciálneho zákona — množstvo je proporcionálne svojej aktuálnej hodnote. Typický tvar je y = a^x, kde a > 0 a a ≠ 1. Zvláštny prípad je prirodzená exponenciálna funkcia y = e^x, kde e je prirodzená exponenciálna báza.

Vlastnosti: derivácia exponenciálnej funkcie s ľubovoľným základom je y' = a^x ln a; pre základ e platí y' = e^x. Integračné pravidlo: ∫ a^x dx = a^x / ln a + C. Inverzná funkcia k exponenciálnej funkcii je logaritmus; pre y = e^x je inverznou funkciou prirodzený logaritmus ln x.

Rozšírené vedy a matematika: exponenciálne funkcie majú Taylorovu radu: e^x = Σ_{n=0}^∞ x^n / n!. V rovniciach často vyjadrujú rýchly rast alebo pokles, napríklad diferenciálny model dN/dt = rN vedie k N(t) = N0 e^{rt}. V diskrétnych modeloch môže byť N_t = N0 a^t.

Použitie: pojem exponenciálny sa používa pri popise rastu a poklesu v biológii, chémii, ekonómii a informatike; v mnohých kontextoch sa využíva aj logaritmická škála na zobrazenie širokého rozsahu hodnôt.

Súvisiace pojmy: exponenciálna funkcia, exponenciálny rast, exponenciálny pokles, základ exponentu, prirodzený logaritmus.