Eulerløsningene

Eulerløsningene er en betegnelse som i norske tekster ofte brukes om løsninger på ligninger som er oppkalt etter Leonhard Euler. Begrepet dekker flere betydninger og kan referere til løsninger av både differensiallikninger og andre typer ligninger som har spilt en sentral rolle i Eulers arbeid. I praksis er det ofte snakk om spesifikke families av løsninger som bærer Eulers navn i den aktuelle sammenhengen.

Et vanlig eksempel er de såkalte Cauchy–Euler-ligninger, som er differensialligninger der den uavhengige variabelen opptrer i hver deriveringsordre som en faktor. For ligningen x^2 y'' + a x y' + b y = 0 gir antatt løsning av typen y = x^r, hvor r er røttene til den karakteristiske ligningen r(r-1) + a r + b = 0. Slike løsninger omtales ofte som Eulerløsningene, og metoden gir en enkel måte å klassifisere og få uttrykk for løsningene.

Innen fluiddynamikk refererer termen Euler-løsninger til løsninger av Euler-ligningene, som beskriver bevegelse av en inviskøs væske. Spesielle løsninger, som steady potential flow eller sirkulerende strømmer, blir ofte kalt Euler-løsninger i faglitteraturen. Slike løsninger er viktige i teoretisk og anvendt fluiddynamikk fordi de gir innsikt i strømningsmønstre uten viskøse effekter.

Historisk sett bidro Leonhard Euler (1707–1783) i betydelig grad til utviklingen av metoder for å finne og klassifisere slike løsninger. Hans arbeid har hatt varig innflytelse på studier av differensialligninger, mekanikk og beregning.

Notasjon og bruk av begrepet varierer mellom fagfelt og kilder, men i allmänhet refererer Eulerløsningene til løsninger som er knyttet til Eulers navn i den aktuelle konteksten.