Epätäydellisyysteoreemojen

Epätäydellisyysteoreemojen muodostavat Kurt Gödelin vuonna 1931 julkaisemat tulokset, jotka osoittavat rajoitukset muodollisille axiomatisoiduille järjestelmille. Ne liittyvät erityisesti järjestelmiin, joissa on riittävästi aritmetiikkaa; tällaiset järjestelmät voivat ilmaista lukuja ja laskentaa. Keskeinen seuraus on, että näissä järjestelmissä on sekä todistettavia että todistamattomia lauseita, eikä järjestelmä voi todistaa kaikkia matemaattisia totuuksia.

Ensimmäinen epätäydellisyysteoreema sanoo, että jokaisessa johdonmukaisessa ja riittävän vahvassa järjestelmässä on lause, jota ei voi todistaa järjestelmässä, vaikka sen väite olisi totta. Tämän seurauksena järjestelmä on epätäydellinen: sen sisällä ei voi todistaa kaikki totuudet. Lauseen erityistä muotoa käytetään usein Gödelin lauseena G, joka kääntyy “G ei ole todistettavissa tässä järjestelmässä”.

Toinen epätäydellisyysteoreema osoittaa, että tällainen järjestelmä ei voi todistaa omaa johdonmukaisuuttaan. Jos järjestelmä olisi todistettavissa johdonmukaiseksi sen omassa muodossa, siitä seuraisi ristiriita. Näin ollen järjestelmän oma johdonmukaisuus ei ole todistettavissa järjestelmän sisällä, olettaen että järjestelmä on johdonmukainen.

Historiallisesti nämä tulokset olivat ratkaisevia Hilbertin ohjelman kannalta, sillä ne näyttivät, ettei kaikkea matematiikkaa voida rakentaa yhä vahvempien, täysin pystyssä olevien axioomien varaan. Rosserin parannus lieventää alkuperäisen tarvittua oletusta omega-konkistanssista, ja yleisesti ne on tulkittu osoittavan perustavanlaatuisen rajoituksen matemaattisen todistamisen mahdollisuuksille.