Eliminointijärjestelmää

Eliminointijärjestelmä, suomeksi myös eliminointimenetelmä, on matemaattinen menetelmä, jota käytetään useiden lineaaristen yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseen. Sen perusidea on muokata yhtälöryhmää siten, että lopulta saadaan yksi yhtälö, jossa on vain yksi tuntematon muuttuja. Tämän jälkeen tämä muuttuja voidaan ratkaista suoraan, ja sen arvoa voidaan käyttää muiden muuttujien ratkaisemiseen takaisinsijoitusperiaatteella.

Eliminointijärjestelmän toteuttamiseen on useita tapoja. Yksi yleinen tapa on yhtälöiden laskeminen yhteen tai vähentäminen toisistaan siten, että yksi muuttuja eliminoituu. Tämä voi vaatia yhtälöiden kertomista sopivilla luvuilla ennen yhteen- tai vähennyslaskua. Tavoitteena on saada yhtälöryhmä muotoon, jossa jokaisella rivillä on vain yksi tuntematon.

Toinen tapa toteuttaa eliminointijärjestelmä on Gaussin eliminaatio, joka on systemaattisempi prosessi. Tässä menetelmässä yhtälöryhmä esitetään matriisimuodossa, ja sitä muokataan rivioperaatioilla, kunnes se on redusoidussa porrasmuodossa. Tämä muoto tekee ratkaisun löytämisestä helppoa.

Eliminointijärjestelmää voidaan käyttää yhtälöryhmiin, joissa on enemmän tai vähemmän yhtälöitä kuin tuntemattomia muuttujia. Jos ratkaisuja on äärettömän monta tai ei yhtään, se ilmenee eliminointiprosessin aikana. Menetelmä on perustavanlaatuinen lineaarialgebrassa ja sillä on sovelluksia monilla tieteen ja tekniikan aloilla.