Ekspanderingsforme

Ekspanderingsforme er en betegnelse inden for matematik og relaterede felter, der beskriver måden hvorpå et objekt, en funktion eller data kan udtrykkes som en ekspansion i en basis af funktioner. Ideen er at dele noget komplekst i mindre, mere håndterbare dele, som kan analysere eller beregnes separat og senere sættes sammen.

Det omfatter forskellige typer af ekspansioner. Kendetegnende er, at en funktion fremtrylles som en sum af basisfunktioner, ofte med konvergensbetingelser. Eksempler omfatter Taylor-serier, der udtrykker en funktion som en sum af afledninger i et punkt; Fourier-serier, der repræsenterer periodiske funktioner som sines og cosines; og udvidelser med ortogonale basissæt som Legendre- eller Chebyshev-polynomier. Der findes også asymptotiske ekspansioner og multidimensionale ekspansioner som anvendes i fysik og billedbehandling.

Beregningsmæssigt bestemmes ekspansionens koefficienter typisk ved indreprodukter eller ved at differentiere og evaluere i et specifikt punkt. Konvergens og udbytte afhænger af valgt basis og funktionens egenskaber. Nogle ekspansioner konvergerer hurtigt for bestemte klasser af funktioner, mens andre kræver særlige betingelser eller filtrering i praksis.

Eksempler giver intuition: e^x omkring 0 kan udtrykkes som 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + …, og en periodefunktion kan udtrykkes ved en Fourier-serie. Anvendelser ligger i analyse og løsning af differentialligninger, signalbehandling, dataanalyse og teoretisk fysik.

Se også: serieudvikling, basisudtryk, Fourier-serie, Taylor-serie, orthogonale polynomier.