Eigenvektoreja

Eigenvektoreja käsittelee lineaarialgebra, jossa neliömatriisille A etsitään ei-nollavektori v ja siihen liittyvä skalaari λ, niin että Av = λv. Tällöin v on eigenvektori ja λ sen ominaisarvo. Ominaisvektorit ja ominaisarvot muodostavat parin, joka kuvaa lineaarikuvan pitkittäistä toimintaa.

Ominaisarvot eli eigenarvot ratkaisevat karakteristisen polynomin det(A − λI) = 0. Jokaiselle ominaisarvolle λ löytyy ratkaisut (A − λI)v = 0, joiden avulla muodostuu eigenspace, eli kaikkien sen eigenvektoreiden ja nollavektorin geometrinen tila. Eri ominaisarvoille voi olla useita lineaarisesti riippumattomia eigenvektoreita.

Jos matriisilla on erilliset ominaisarvot, sen eigenvektorit ovat lineaarisesti itsenäisiä. Tällöin A on diagonalisoitavissa: A = P D P^{-1}, missä D on diag-merkinnällä koostettu ominaisarvot ja P sisältää vastaavat eigenvektorit sarakkeittain. Diagonalisoiminen helpottaa monien ongelmien ratkaisemista, kuten potenssien laskemista ja differentiaaliyhtälöiden analysointia.

Laskenta etenee yleensä kahdessa vaiheessa: ensin ratkaistaan ominaisarvot det(A − λI) = 0, sitten lasketaan kullekin λ:lle (A − λI)v = 0 ja valitaan ei-nollat ratkaisut ominaisvektoreiksi. Vekevoida voi normalisoida tai ortogonalisoida sovelluksesta riippuen.

Esimerkki: A = [[4,1],[2,3]] saa ominaisarvot 5 ja 2, sekä vastaavat eigenvektorit [1,1]^T ja [1,-2]^T. Näiden avulla voidaan muodostaa P ja D, joilla A voidaan kirjoittaa diagonaalisesti.

Sovellukset kattavat vakauden analyysin, differentiaaliyhtälöiden ratkaisut, pääkomponenttianalyysin sekä grafiikka- ja lisääntyvän datan tutkimuksen.