Ehtotodennäköisyyksien

Ehtotodennäköisyyksien käsite (priorijakaumat) kuuluu Bayesin tilastotieteen keskeisiin rakenteisiin. Ne kuvaavat epävarmuutta parameterin arvoon ennen havaintojen tekemistä ja muodostavat tilastollisen uskomusjärjestelmän pohjan. Priorijakauma P(θ) antaa etukäteen tavan painottaa erilaisia arvoja ja yhdistää ennakkotiedon sekä uuden datan.

Bayesin menetelmän ydin on suhteessa priorijakauman ja todennäköisyysmallin tilanjakautumaan eli todennäköisyyteen P(D|θ). Uusien havaintojen jälkeen posteriori P(θ|D) saadaan Bayesin lauseen kautta: P(θ|D) ∝ P(D|θ) P(θ). Näin uskomukset päivitetään datan valossa, ja tuloksena on jakauma, joka kuvaa sekä uuden aineiston että aiemman tiedon epävarmuutta.

Tyypillisesti ehtotodennäköisyyksien esiintymiä on monenlaisia. Subjektiiviset priors ovat informatiivisia ja perustuvat asiantuntijatietoon, kun taas objektiiviset tai epäinformatiiviset priors pyrkivät minimoimaan ennakkokäyttöä. Konjugoituvat priors ovat yleisesti käytettyjä, koska ne antavat helposti käsiteltävän posterioirin. Esimerkkejä ovat Beta-todennäköisyysjakauma binomial-tilanteissa ja Gamma-todennäköisyydet Poisson-malleissa. Epähoidetut (improper) priors voivat olla hyödyllisiä joissain tilanteissa, mutta ne voivat myös vaatia erityishoitoa johdonmukaisen tulkinnan varmistamiseksi.

Esimerkki: kolikon heitossa, jossa p on kolikon kääntymisen todennäköisyys, priorina voi olla Beta(α, β). Havainnot x hattuja ja n−x tasoitettuina päivittävät posteriorin Beta(α+x, β+n−x). Priorin vaikutus on erityisen näkyvä vähän datalla.

Ehtotodennäköisyyksien käyttöä esiintyy laajasti tilastossa, data-analysoinnissa ja koneoppimisessa. Niiden valintaan liittyy harkinta, herkkyyden arviointi ja läpinäkyvyys.