Droites

Une droite est, en géométrie euclidienne, l’ensemble des points qui s’étend à l’infini dans les deux directions. Elle a une largeur nulle et une longueur infinie, et sert de repère pour décrire des trajectoires, des intersections et des orientations. Dans le plan, une droite peut être définie soit par deux points distincts, soit par une équation qui tous les points de la droite vérifient.

Représentations: en coordonnées cartésiennes, une droite peut être écrite sous la forme ax + by + c = 0 avec a et b non tous deux nuls; ou, pour les droites non verticales, y = mx + b, où m est la pente et b l’ordonnée à l’origine. La description vectorielle donne une forme paramétrique P(t) = P0 + t v, où P0 est un point de la droite et v est un vecteur directeur non nul. Le vecteur normal n = (a, b) est perpendiculaire à la droite et satisfait a x + b y + c = 0.

Propriétés: par définition, il existe une et une seule droite passant par deux points distincts. Deux droites du plan qui ne sont pas parallèles se rencontrent en un point unique; des droites parallèles n’ont pas d’intersection, ou elles coïncident si elles partagent tous leurs points. La distance d’un point X(x0, y0) à la droite ax + by + c = 0 est abs(a x0 + b y0 + c) / sqrt(a^2 + b^2). Une droite verticale s’écrit x = k et une droite horizontale s’écrit y = k.

Dans l’espace, une droite est aussi l’ensemble P0 + t v, avec P0 un point et v un vecteur directeur. Deux droites peuvent être non coplanaires et ne pas se rencontrer (droites skew). Des notions associées incluent les angles entre droites et le concept de perpendicularité.