Dimensjonsnormer

Dimensjonsnormer er normer definert på et finite-dimensionalt vektorrom, vanligvis på R^n, som måler størrelse eller lengde til en vektor. En norm er en funksjon som tilordner hver vektor et ikke-negativt tall og tilfredsstiller devanes tre grunnleggende egenskaper: positiv definithet, homogenitet og trekantulikhet. Normer gir også en tilhørende metrikk d(x,y) = ||x - y||, som setter opp avstander og konseptet konvergens i rommet.

De vanligste dimensjonsnormene er p-normene, definert for p ≥ 1 som ||x||_p = (sum |x_i|^p)^(1/p). Spesialtilfeller inkluderer p = 2, som gir den vanlige Euklidiske normen; p = 1, den såkalte Manhattan-normen; og p = ∞, som bruker maks av absoluttverdiene til komponentene. Disse normene måler størrelse på vektorer forskjellig: L1-normen legger vekt på mange små komponenter, L2-normen vektlegger gjennomsnittet av kvadrerte komponenter, og L∞-normen fokuserer på den største komponenten.

I et ellers fritt vektorrom med finite dimensjon er alle normer likeverdige; at et rom har flere normer betyr at størrelser og konvergenser ikke endres fundamentalt, selv om konstanter for sammenligning (grenser mellom normer) kan avhenge av dimensjonen n. De forskjellige normene har også forskjellige geometrier for enhetsballen: L1-enhetsballen er en flerdimensjonal kryss-form, L2-enhetsballen er sfærisk, og L∞-enhetsballen er en kube.

Praktisk bruker man dimensjonsnormer i numerisk analyse, optimering og maskinlæring. Valg av norm påvirker effektiviteten av algoritmer, regulering (for eksempel L1 for sparsitet vs. L2 for jevnere løsninger) og vinklingen til ulike feil- og stabilitetsproblemer. Normer kan også generaliseres til operatornormer og andre funksjonelle rom, hvor de måler størrelsen på lineære operatører.