Dimensionsteori

Dimensionsteori är en gren av matematiken som undersöker begreppet dimension i olika sammanhang. Det finns flera olika uppfattningar om vad dimension är och hur den definieras. De viktigaste inriktningarna är topologisk dimension, geometrisk (fraktal) dimension och algebraisk dimension.

Topologisk dimension behandlar hur ett rum kan täckas av öppna mängder. Den mest använda definitionen är täckningsdimensionen, ibland kallad Lebesgue-dimensionen: ett rum har dimension n om varje öppet täcke har en refinering där varje punkt tillhör högst n+1 täcken. Det finns även induktiv dimension. Dessa mått är invarianta under homeomorfier och bevaras av vissa kontinua bilder.

Geometrisk dimension avser antalet koordinater som behövs för en lokal beskrivning. Rum som R^n har dimension n, och mångfalder definieras som rum som är lokalt homeomorfa mot R^n. Denna syn används inom analys, differentialgeometri och algebraisk geometri.

Fraktal dimension beskriver hur detaljerna hos en mängd växer när upplösningen minskar. Vanliga mått är Hausdorff-dimension och box-counting/Minkowskidimension. Fraktala mängder kan ha icke-fasta dimensioner, exempelvis Cantor-mängden och Sierpinski-triangeln.

Algebraisk dimension studerar kedjor av primeidealer i ringar. Krull-dimensionen hos en ring är längden på den längsta kedjan av primeidealer. Dimensionen av en algebraisk mängd kopplas ofta till Krull-dimensionen hos dess koordinationsring; i vissa sammanhang relateras den även till transcendensgrad.

Dimensionsteori används inom många grenar av matematik och har tillämpningar i analys, geometri och algebra. Olika dimensioner fångar olika aspekter av storhet och komplexitet.