Difusioonivõrrandil

Difusioonivõrrand on osasiirde tüüpi kirjeldav osatuletusvõrrand. Seda kasutatakse laialdaselt füüsikas, keemias, bioloogias ja finantsturul. Võrrand kirjeldab, kuidas aja jooksul mingi suuruse, näiteks osakeste või soojuse, kontsentratsioon või jaotus muutub ruumis diffundeerumise teel. Lihtsaimal kujul, ühes mõõtmes, on difusioonivõrrand kujul $\frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$, kus $u(x,t)$ on kontsentratsioon või temperatuur punktis $x$ ajahetkel $t$, ja $D$ on difusioonikoefitsient, mis iseloomustab diffundeeruva suuruse levimiskiirust. Suurem $D$ tähendab kiiremat difusiooni.

Difusioonivõrrand on seotud ka Browni liikumisega, mis on juhuslik liikumine, mida põhjustavad molekulide kokkupõrked. See on pöörduv protsess, mis püüab saavutada tasakaaluseisundit. Võrrandil on palju lahendusi, sõltuvalt algtingimustest ja piiritingimustest. Näiteks võib see kirjeldada mürgi levikut vees, kuumuse jaotumist metallvarras, või geenide levikut populatsioonis. Kõrgemates mõõtmetes või keerukamate süsteemide korral võib difusioonivõrrand omandada keerulisema kuju, sisaldades lisaterme, mis kirjeldavad näiteks konvektsiooni või reaktsioone.