difusioonivõrrand

Difusioonivõrrand on osaline diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab aja jooksul toimuvat difusiooni protsessi, nagu näiteks osakeste või energia liikumine piirkonnast, kus nende kontsentratsioon on kõrgem, piirkonda, kus kontsentratsioon on madalam. Selle kõige lihtsamas vormis, tuntud kui Fick'i esimene seadus, seostab difusioonivõrrand voo (nt osakeste arv ajaühikus pindalaühiku kohta) kontsentratsiooni gradiendiga (muutusega ruumis).

Matemaatiliselt väljendub see sageli kujul ∂u/∂t = D ∇²u, kus u tähistab kontsentratsiooni, t aega, D difusioonikoefitsienti (mis iseloomustab aine või energia liikumise kiirust) ja ∇² on Laplace'i operaator, mis kirjeldab kontsentratsiooni kõverust ruumis. Difusioonikoefitsient D on positiivne konstant.

Difusioonivõrrandil on palju rakendusi erinevates teadusvaldkondades. Füüsikas kasutatakse seda näiteks soojusjuhtivuse kirjeldamiseks, kus see muutub soojusjuhtivuse võrrandiks. Keemias aitab see modelleerida keemiliste reaktsioonide kiirusi ja ainete levikut lahustes. Bioloogias rakendatakse seda rakkudesse ainete transpordi, geeniekspressiooni leviku või populatsioonide ruumilise jaotumise uurimisel. Samuti mängib see rolli finantsmatemaatikas, näiteks Black-Scholesi mudelis. Võrrandi lahendamine sõltub algtingimustest ja piirtingimustest, mis iseloomustavad süsteemi algset olekut ja selle piire.