Differentialekvivalens

Differentialekvivalens är en relation mellan differentialekvationer eller dynamiska system som anger att två olika matematiska representationer egentligen beskriver samma kontinuerliga dynamiska beteende. Ofta uppnås detta genom en förändring av tillståndsvariabler och eventuellt en tidsomvandling, så att lösningarna i de två systemen korresponderar på ett systematiskt sätt.

I den enklaste formen krävs att två ODE-system har samma lösningsmängd för varje initialtillstånd. För två envariabla system x' = f(x) och y' = g(y) gäller differentialekvivalens om det finns en funktion Φ med y = Φ(x) och g(Φ(x)) = Φ'(x) f(x) för alla x i relevanta domänen. I flerdimensionella fall krävs existensen av en diffeomorfism Φ mellan tillståndsrum så att G(Φ(x)) = DΦ(x) F(x), där F och G är vektorfält som representerar systemen. Då följer att lösningarna av ena systemet kartas till lösningarna av det andra via Φ, eventuellt upp till tidsomvandling.

Metoder för att fastställa differentialekvivalens inkluderar att söka efter lämplig transformationsfunktion Φ (och eventuell tidsomvandling), eller att använda differentialalgebraiska tekniker för att undersöka om de differentiala strukturerna (till exempel de ideala som genereras av ekvationerna) är ömsesidigt implikationbara. Egenskaper som bevaras under differentialekvivalens är ofta den underliggande dynamiska strukturen och antal frihetsgrader, samt invarianta beteendemönster som fasområden och stabilitet.

Exempel och tillämpningar illustrerar hur differentialekvivalens möjliggör modellreducering och jämförbarhet mellan olika modeller inom teknik och naturvetenskap. Denna typ av equivalens är central för identifikationsproblem i kontrollteori och för teoretisk analys av symmetrier och transformationer mellan dynamiska system.