Differensiaalitdifferensiaali

Differensiaalitdifferensiaali on suomalainen termi, jolla viitataan differentiaalien sekä niihin liittyvien rakenteiden kokonaisuuteen matematiikassa. Käsite kattaa sekä yksittäisen funktion muutoksen lineaarisen lähestymisen että laajennetut rakennelmat, kuten differentialialueet ja ulkoisen derivaatan kokonaisuudet.

Yhden muuttujan funktiolle f: R → R differentiaali df_p on lineaarinen kuvaukse, joka antaa pienen muutoksen f arvossa f(p + h) ≈ f(p) + df_p(h). Kirjoitettaessa dx pienen muutoksen symbolina, df = f′(p) dx. Monimuuttujille f: R^n → R, df_p(h) = ∑_{i=1}^n ∂f/∂x_i(p) h_i. df_p on 1-formi eli covektori, jonka voi kirjoittaa df = ∑ ∂f/∂x_i dx_i. Näin dx_i muodostavat paikallisen 1-formien basisin ja df on sen lineaarinen yhdistelmä.

Ulkoisen derivaatan d käsite yleisissä differensiaaleissa laajentaa nämä ideat. For a k-formi α, dα on (k+1)-formi, ja d^2 = 0. Esimerkiksi d(f) = df ja dα∧β-tyyppisissä lauseissa noudatetaan Leibnizin sääntö: d(α∧β) = dα∧β + (−1)^k α∧dβ, kun α on k-formi. Tämä antaa coordinate-free’n tavan kuvata derivaattoja ja liittää differentiaalit osaksiDifferentiaaliset muodot -kehystä.

Käytännössä differentiaalit ovat keskeisiä muun muassa muutosten huomioimisessa muuttujien välillä, integroinnissa ja muuttujamuunnoksissa (Jacobialukujen kautta), sekä differential-geometrian ja fysiikan ilmaisussa, jossa nopeudet ja muut tilamuutokset käsitellään lineaarisesti. Historiaalisesti termiä dy/dx sekä dx, dy esitteli Leibniz, ja differentiaalien järjestelmä kehittyi 1800–1900-luvulla ulkoisen derivaatan ja diferentiaalimuotojen muodossa.

---