Differensfunktion

Differensfunktion, ofta kallad differensoperator, beskriver skillnaden mellan värden av en funktion vid närliggande argument. Den mest använda versionen är framåtdifferensen Δ f(n) = f(n+1) − f(n) för funktioner definierade på heltal eller en diskret domän. Andra vanliga varianter är bakåtdifferensen ∇ f(n) = f(n) − f(n−1) och den centrala differensen δ f(n) = [f(n+1) − f(n−1)]/2. Vid en kontinuerlig variabel kan man skriva en mer generell differens Δ_h f(x) = f(x+h) − f(x) där steglängden h är godtycklig; för små h ligger Δ_h f(x) nära h f′(x).

Funktionens differens är en linjär operator: Δ(af + bg) = a Δf + b Δg. Vid polynomfunktioner minskar differensen graden med en; om f är ett polynom av grad m är Δ f ett polynom av grad m−1. Höjda differenser Δ^k f definieras rekursivt med Δ^0 f = f och Δ^{k+1} f = Δ(Δ^k f). För polynom av grad m är Δ^{m+1} f = 0. Denna egenskap ligger till grund för olika skillnadsbaserade metoder och Newtons framåtdifferentieringsformler.

Användningar: differensfunktionen används inom diskret kalkyl och numerisk analys för att approximera derivator, lösa skillnadsekvationer och utföra polynominterpolation (till exempel via Newtons framåtdifferencesformler). Ett klassiskt exempel är f(n) = n^2, då Δ f(n) = 2n + 1 och Δ^2 f(n) = 2, vilket illustrerar hur högre differenser blir konstanter för polynom av specifika grad.

Differensfunktionen fungerar som den diskreta motsvarigheten till derivatan och är grundläggande inom teorier om sekvenser, numerisk differentiation och skillnadsmetoder.