Diferentsiaalvõrrandit

Diferentsiaalvõrrandit on matemaatilised võrrandid, mis seostavad mingit funktsiooni selle tuletistega. Need on fundamentaalsed mitmetes teadus- ja insenerivaldkondades, kus neid kasutatakse erinevate protsesside ja nähtuste modelleerimiseks. Diferentsiaalvõrrandid võivad olla harilikud ehk ODE-d (ordinary differential equations), mis sisaldavad ainult ühe sõltumatu muutuja funktsiooni ja selle tuletisi, või osatuletisvõrrandid ehk PDE-d (partial differential equations), mis sisaldavad mitme sõltumatu muutuja funktsiooni ja selle osatuletisi.

Lihtsaimad diferentsiaalvõrrandid on esimese järgu harilikud diferentsiaalvõrrandid, kus esineb funktsiooni esimene tuletis. Näiteks funktsiooni y(x) esimest tuletist tähistatakse dy/dx. Diferentsiaalvõrrandi lahendamine tähendab funktsiooni leidmist, mis rahuldab antud võrrandit. Lahendid võivad olla unikaalsed või võib olla terve hulk lahendeid, mida nimetatakse üldlahendiks. Tihti nõutakse lisatingimusi, näiteks algtingimusi või piirtingimusi, et leida konkreetne ehk erilahend.

Diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks on välja töötatud mitmeid meetodeid, sealhulgas analüütilised meetodid nagu muutujate eraldamine, tegurite leidmine ja transformatsioonid, ning arvutuslikud ehk numbrilised meetodid, nagu Euleri meetod ja Runge-Kutta meetodid. Diferentsiaalvõrrandid on olulised füüsikas (mehhanika, elektromagnetism, kvantmehaanika), keemias (reaktsioonikineetika), bioloogias (populatsiooni kasv), majanduses ja paljudes teistes rakendusvaldkondades.