Deriválással

Deriválással a függvény adott változó mentén vett helyváltozásának sebességét írjuk le. A derivált megadja a függvény görbéjének érintőjének meredekségét az adott pontban, vagyis a hely- és időbeli változás végtelenül kicsiny arányát. A deriválás az analízis egyik alapművelete, amely lehetővé teszi a függvények viselkedésének pontos leírását és alkalmazható értelmezéseket ad.

A leggyakoribb jelölések közé tartozik f'(x), df/dx és Df(x). A deriváltak értelmezése szerint meghatározza az érintő meredekségét, illetve a függvény lokális változását egy pontban. A deriválás elvégezhető különböző szabályokkal, amelyek a függvény szerkezetétől függenek: a konstansszabály, a hatvány- és a logaritmikus szabályok, a összeg- és szorzatszabályok, a hányadosszabály és a láncszabály. Többváltozós függvényeknél csak a részleges deriváltak és a gradient által írható le a változás, és gyakran a differenciálokkal is dolgoznunk kell.

Értelmezés és alkalmazások szinte minden tudományterületen jelentősek: a helyesmeret és a mozgás irányának meghatározása, a sebesség és gyorsulás leírása, optimalizálási problémák megoldása helyi extrema keresésével, valamint a függvények közelítésére szolgáló polinomok (Taylor-sorok) készítése. Fontos megjegyezni, hogy egy pontban a derivált létezése feltételezi a differenciálhatóságot; differenciálható függvények mindig folytonosak, de nem minden folytonos függvény differenciálható. A deriválás történetéhez Newton és Leibniz neve fűződik, akik a 17. században fejlesztették ki a módszert.