Dereivaatiotavalla

Dereivaatiotavalla on matematiikassa käytetty ratkaisutapa, jossa ongelmasta tehdään ensin parametrisointi ja tuodaan mukaan derivaatta sen funktion suhteen. Käytännössä ongelman ratkaisemiseksi määritellään funktio F(α), jonka α on vieraannuttu parametri. Derivoimalla saadaan F′(α), ja tämän jälkeen käytetään saadun derivoidun suhteen avulla alkuperäisen kysymyksen ratkaisu tai sen arvo palautetaan, esimerkiksi integroimalla tai yhdistämällä tuloksia. Menetelmää kutsutaan toisinaan myös differentiations trickiksi tai Feynmanin trikiksi, ja sitä sovelletaan erityisesti integraalien, sarjojen ja summien arvioinnissa sekä identiteettien johtamisessa.

Metodin perusidea on lineaarisuus sekä mahdollisuus hyödyntää derivoitavaa parametria. Usein valitaan α sellaiseksi, että F(α) tai F′(α) on helpommin laskettavissa kuin alkuperäinen ilmaisu. Tämän jälkeen ratkaistaan alkuperäinen ratkaisu palauttamalla parametri haluttuun muotoon tai käyttämällä integroitua derivaattaa saadun tuloksen todistamiseen. Dereivaatiotavalla voidaan sekä helpottaa laskua että avata yhteyksiä erilaisten järkevien derivaattayhtälöiden kautta.

Esimerkkinä voi mainita funktion I(α) = ∫0^∞ e^{-αx} dx, jonka arvo on 1/α (α>0). Derivoimalla saadaan I′(α) = ∫0^∞ -x e^{-αx} dx = -1/α^2, ja tämän kautta voidaan osoittaa myös ∫0^∞ x e^{-αx} dx = 1/α^2. Tämä havainnollistaa, miten α-parametrin derivoiminen voi tuottaa helpommin laskettavia ilmaisuja ja johdettua lopputulosta.

Liittyvät termit: derivaatio, differentiaalilaskenta, Leibnizin sääntö ja Feynmanin kikka.