Contáveis

Contáveis, ou enumeráveis, é o termo usado na teoria dos conjuntos para descrever conjuntos cuja cardinalidade é finita ou igual a aleph-zero. Um conjunto é contável se existe uma bijecção entre ele e um subconjunto dos números naturais N. Em outras palavras, seus elementos podem ser listados em uma sequência (possivelmente infinita). Um conjunto contável infinito tem a mesma cardinalidade de N, enquanto os conjuntos finitos são contáveis por definição.

Exemplos comuns incluem os conjuntos N (naturais), Z ( inteiros) e Q (racionais). O conjunto de palavras finitas sobre um alfabeto finito também é contável, assim como o conjunto dos números algébricos. Por contraste, o conjunto dos números reais R não é contável, o que pode ser demonstrado pelo argumento diagonal de Cantor.

Propriedades relevantes: a união de uma sequência contável de conjuntos contáveis é contável; o produto cartesiano de dois conjuntos contáveis é contável (por exemplo, N×N é contável). No entanto, existem construções mais complexas com contáveis, como o conjunto de todas funções de N para N, que é não contável. O conjunto das partes de N, P(N), também é não contável e tem cardinalidade 2^aleph-zero.

Observação: no contexto da cardinalidade, conjuntos contáveis infinitos têm cardinalidade aleph-zero; conjuntos finitos possuem cardinais menores que aleph-zero. A noção de contável é central para classificações entre finito, contável infinito e não contável.