Collinearitäten

Collinearitäten bezeichnet in der Geometrie die Eigenschaft, dass drei oder mehr Punkte auf einer einzigen Geraden liegen. Treffen diese Punkte tatsächlich auf derselben Geraden zu, spricht man von kollinear oder von Collinearitäten der betrachteten Punktmenge.

Eine zentrale Prüfung in der Ebene lautet: Sind A(x1,y1), B(x2,y2) und C(x3,y3) kollinear, dann ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC gleich Null oder die Determinante

| x1 y1 1 |

| x2 y2 1 | = 0

| x3 y3 1 |

invertiert. Eine äquivalente Bedingung lautet (x2−x1)(y3−y1) = (y2−y1)(x3−x1). Bei zwei identischen Punkten oder mehreren Kopien gilt die Bedingung entsprechend, solange alle Punkte auf derselben Geraden liegen.

In höheren Dimensionen lässt sich Collinearität so verstehen, dass alle Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, d. h. die Vektoren AB, AC, … sind Vielfache desselben Richtungsvektors. Im dreidimensionalen Raum kann man dies durch AB × AC = 0 prüfen; der Nullvektor bedeutet, dass AB und AC parallel bzw. kollinear sind. In der projektiven Geometrie sprechen Collinearitäten dafür, dass die Homogenenkoordinaten der Punkte auf eine Linie fallen, was durch lineare Abhängigkeit charakterisiert wird.

Beispiele verdeutlichen das Konzept: Die Punkte A(0,0), B(2,1) und C(4,2) liegen auf der Geraden y = x/2 und sind kollinear; D(0,1) mit denselben A und B ist nicht kollinear. Collinearitäten spielen eine zentrale Rolle in Geometrieproblemen, bei Linienmessungen, Computergraphik und der Linienbestimmung in Ausgleichungsrechnungen.