Cauchyyhtälön

Cauchy-yhtälö, tai Cauchy-funktionaalinen yhtälö, on f: R → R, joka toteuttaa f(x+y) = f(x) + f(y) kaikille x ja y ∈ R. Yhtälö määrittelee additiivisia funktioita ja on keskeinen esimerkki funktionaalisten yhtälöiden tutkimuksessa.

Perusominaisuuksia: Asettamalla x = 0 saadaan f(0) = 0, ja asettamalla y = −x saadaan f(−x) = −f(x). Näin pätevät myös luvutietoisiin kertolaskuihin liittyvät ominaisuudet: f(nx) = n f(x) kaikille yhdelle luvulle n ∈ Z, ja f(qx) = q f(x) kaikille rationaaliluvuille q ∈ Q. Näin f on rationaalisesti lineaarinen: f(q) = q f(1) kun rajoissa x = 1 otetaan.

Ratkaisujen luonne riippuu lisäehdoista: ilman lisäehtoja on olemassa hyvin paljon äärimmäisen epätavallisia, ei-lineaarisia additiivisia funktioita. Jos f on jatkuva yhdessä pisteessä, rajoitettu jollakin välillä tai mitattavissa, niin ainoa ratkaisu on f(x) = cx, missä c = f(1). Näin additiivinen funktio on pelkk lineaarinen.

Generalisaatioita ja rakenne: Cauchy-yhtälö voidaan tulkita ryhmä- tai vektoriaineiden homomorfiana (R,+) → (R,+). Yleensä ilman lisäehtoja ratkaisujen luonne on sidoksissa valittuun pohjaan ja käyttöön Hamelin perusrakennetta, joka mahdollistaa kaikkien additiivisten funktioiden muodostamisen lineaarisesti rationaalisen suhteen yli. Tämä dokumentoi, miksi lisäehtojen olemassaolo rajoittaa ratkaisut lineaarisiksi.

Käytännön merkitys: Cauchy-yhtälö toimii perustana funktionaalisten yhtälöiden teoriassa ja havainnollistaa, miten lisäehdot vaikuttavat ratkaisutapauksiin additiivisissa funktioissa.