Cauchyyhtälön
Cauchy-yhtälö, tai Cauchy-funktionaalinen yhtälö, on f: R → R, joka toteuttaa f(x+y) = f(x) + f(y) kaikille x ja y ∈ R. Yhtälö määrittelee additiivisia funktioita ja on keskeinen esimerkki funktionaalisten yhtälöiden tutkimuksessa.
Perusominaisuuksia: Asettamalla x = 0 saadaan f(0) = 0, ja asettamalla y = −x saadaan f(−x) = −f(x). Näin pätevät
Ratkaisujen luonne riippuu lisäehdoista: ilman lisäehtoja on olemassa hyvin paljon äärimmäisen epätavallisia, ei-lineaarisia additiivisia funktioita. Jos
Generalisaatioita ja rakenne: Cauchy-yhtälö voidaan tulkita ryhmä- tai vektoriaineiden homomorfiana (R,+) → (R,+). Yleensä ilman lisäehtoja ratkaisujen
Käytännön merkitys: Cauchy-yhtälö toimii perustana funktionaalisten yhtälöiden teoriassa ja havainnollistaa, miten lisäehdot vaikuttavat ratkaisutapauksiin additiivisissa funktioissa.