Boltzmannfunktioner

Boltzmannfunktioner är en samling funktioner som används inom termodynamik, statistisk mekanik och närliggande områden för att beskriva hur sannolikheter eller mättnadskurvor fördelar sig mellan olika tillstånd enligt energiernas Boltzmann-faktor. Den grundläggande formen i klassisk Boltzmannstatistik är p_i = exp(-β E_i)/Z där β = 1/(kT) och Z = sum_j exp(-β E_j) är partitionfunktionen. Denna konstruktion ger sannolikheter för olika energitillstånd vid en given temperatur.

I kvantstatistik används ofta Fermi-Dirac- eller Bose-Einstein-fördelningar; Boltzmannfördelningen är den klassiska limit som uppnås när occupancy av varje tillstånd är liten och kvanteffekter kan negligeras. Boltzmannfunktioner används därför som ett förenklat, ofta sigmoidal, verktyg för att beskriva sannolikheter i många praktiska sammanhang och i dataanpassning.

En vanligt förekommande form av en Boltzmannfunktion inom sigmoida övergångar är en logistisk- eller s-formad kurva av typen f(x) = L/(1 + exp(-(x - x0)/k)) eller dess modifierade varianter. Sådana funktioner används för att modellera övergångar i exempelvis magnetisering, molekylära populationsfördelningar, dos-respons-kurvor och andra fasövergångar där en snabb övergång sker runt ett smalt intervall i x-värdet.

Historiskt kopplas Boltzmannfunktioner till Ludwig Boltzmann, som lade grunden för statistisk mekanik och begreppet att makroskopiska egenskaper härstammar ur sannolikhetsfördelningar över mikroskopiska tillstånd. See also Boltzmannfördelningen, Fermi-Dirac-fördelningen, Bose-Einstein-fördelningen, logistisk funktion, partitionfunktion.