Binomiaalsete

Binomiaalsete mõiste all mõistetakse kahte peamist kontseptsiooni matemaatikas ja estatistika: binomiaalset polünoomi ja binomiaalset jaotust. Binomiaalne polünoom on kahe liikmega alusliigestega polünoom, näiteks (x + y) või (a + b). Selle laienemise korral ülespoole kasvab potentsiaalne väljend paljude liikmete arvel.

Binomiaalne teoreem kirjeldab, kuidas (x + y)^n avaldub. See on summa k=0 kuni n kohta, kus iga liige on koefitsiendiga binom(n, k) x^{n-k} y^k. Koefitsiendid binom(n, k) on kombinatoorilised ja neid nimetatakse binomiaalseteks koefitsientideks; need leitakse müriseva valemiga binom(n, k) = n! / (k!(n-k)!). Koefitsiente iseloomustab ka Pascal'ide kolmnurk, mis kajastab koefitsientide jagunemist.

Binomiaalset jaotust kasutades kirjeldatakse edukuste arvu kindlas arvulises katsetuste seerias, kus iga katse on eraldi ja sõltumatu ning edu tõenäosus on p. Siin X tähistab edukate arv. Tõenäosus P(X = k) = binom(n, k) p^k (1 − p)^{n − k} kehtib k = 0, 1, ..., n. Ootusteis E[X] = np ja dispersioon Var(X) = np(1 − p). Binomiaalset jaotust iseloomustab ka sümmeetriat ning selle piirväärtust võib kasutada suurte n-ide korral normaalse jaotuse lähedal.

Binomiaalsete kontseptsioonide rakendused hõlmavad algebrat, tõenäosusteooriat, kvalitatiivset kontrolli ja genotöötlust, kus koefitsiente ja seoseid kasutatakse kombinatoorsete arvutuste ning statistiliste mudelite jaoks.