Binomiaalkoefitsientide

Binomiaalkoefitsientide ehk binomiiniste koefitsientide mõiste viitab numbrile binom(n,k), mis näitab, kui palju on viise valida k elementi n-elementse hulgast. Kahe numbrit tähistatakse sageli kui binom(n,k) või keha C(n,k). Kui n ja k on mitte-negatiivsed täisarvud ning 0 ≤ k ≤ n, on binom(n,k) väärtus n!/(k!(n−k)!). Kui k väljapoole seda vahemikku, on koefitsient null. Laiendatult saab binom(n,k) määrata ka reaalarvude või negatiivsete n-de korral gamma-funktsiooni abil.

Kombinatoorne tähendus: binom(n,k) on viiside arv, millega saab valida k elemendi n-elementse hulga alamhulgast. See peegeldub ka Pascaali kolmnurgas, kus koefitsientidel on rekursiivne omadus binom(n,k) = binom(n−1,k−1) + binom(n−1,k) koos piiridega binom(n,0)=binom(n,n)=1.

Binomiaalteoreem: (x + y)^n = sum_{k=0}^n binom(n,k) x^{n−k} y^k. See teoreem ühendab koefitsiendid polünoomide lahti kirjutamisega ja leiab kasutust paljudes valemites ja arvutustes.

Omadused: binom(n,k) = binom(n,n−k) (sümbioosne omadus) ning koefitsient kasvab esmalt kuni floor(n/2) ja seejärel väheneb. Ülesannetel on piir, näiteks binom(n,k) ≤ 2^n.

Rakendused: kombinaatorika, tõenäosusteooria ja statistika valdkondades, sealhulgas binomiaaljaotuse kirjelduses. Laiendatud mõiste hõlmab ka reaalarvude binomiaalkoefitsiente ja kombinatoorsete valemite üldistusi.