Bijektiivsed

Bijektiivsed ehk bijektiivsed funktsioonid on funktsioonid, mis on samal ajal injektiivsed ja surjektiivsed. Olgu f: A -> B. f on bijektiivne, kui erinevad elemendid a1 ≠ a2 A s a nevad erinevatele B-elementidele (injektiivsus) ja iga b ∈ B on f(a) kaudu saavutatav (surjektiivsus). Selline funktsioon määrab hulga A iga liikme jaoks täpselt ühe pildi ja iga B-element on pildi kaudu esindatud.

Kui f on bijektiivne, on olemas ka pöördfunktsioon f^{-1}: B -> A, mis määrab iga b ∈ B nii, et f(f^{-1}(b)) = b ja f^{-1}(f(a)) = a. Pöördfunktsioon on samuti bijektiivne.

Bijektiivsed funktsioonid säilitavad hulga suuruse kirjeldused ja sobivad hästi ühte-ühte vastavuste loomiseks kahe hulga vahel. Kompositsioon: kui f: A -> B ja g: B -> C on bijektiivsed, siis ka g ∘ f: A -> C on bijektiivne. Seetõttu on bijektiivsed funktsioonid kasulikud, kui soovitakse näidata kahe hulga sama suurust või luua pööratav ühtsus nende vahel.

Näide: f: {1, 2, 3} -> {a, b, c}, f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c on bijektiivne. Näide mitte-bijektiivsus: f: {1, 2, 3} -> {a, b}, f(1) = a, f(2) = a, f(3) = b ei ole bijektiivne, kuna see ei ole injektiivne ega surjektiivne.

Bijektiivsus on keskne mõiste hulga suuruse ja vastavuste teoorias ning mängib olulist rolli ka permutatsioonides ja pöördarvutustes.