surjektiivsed

Surjektiivsed funktsioonid (surjektivne) on funktsioonid, mille puhul kujutis katab kogu sihtruumi. Kui f on f: A → B, siis f on surjektivne, kui iga b ∈ B on mõne a ∈ A võrra f(a) = b. Teisisõnu on f(A) = B.

Omadused. Surjektivne funktsioon võimaldab iga sihtruumi elemendi jaoks leida vähemalt ühe esialgse elemendi, mis selle vastava pildi loob. See on tihedalt seotud mõistega „pilt“ või „image“: surjektivsuse korral on pilt kogu B-st. Kui A ja B on lõplikud, on vajalik, et |A| ≥ |B|; kui suurused on võrdsed, siis surjektivus koos uusmõõtmes injektsiooniga tagab bijektsiooni. Võimalik on ka valida right-inverse g: B → A nii, et f ∘ g = id_B, mis näitab surjektivsust.

Seosed teiste omadustega. Surjektivsust võrreldakse sageli injektiivsusega: injektiivne funktsioon on üks-ühene ehk erinevad lähtearvud annavad erinevad pildid. Bijektsioon on nii injektiivne kui ka surjektivne, kusjuures sellel on pöördvandefunktsioon. Surjektivust kasutatakse laialdaselt kategooriateoorias ja algebraalistes konstruktsioonides, kus oluline on esitada iga sihtobjekt vähemalt ühe preimage kaudu.

Näited. Funktsioon f:{1,2,3} → {a,b} määratud F(1)=a, F(2)=b, F(3)=b on surjektivne, sest a ja b mõlemad esinevad pildina. Vastupidine näide: g:{1,2} → {a,b,c} määratud g(1)=a, g(2)=b ei ole surjektivne, kuna c-l puudub preimage.

Kokkuvõte. Surjektiivsed funktsioonid on piirkond, kus sihtruumi iga element on saavutatav lähteelemendist; nad on vastandiks mitte- või osaliselt images.