Bifurkationspunkter

Bifurkationspunkter är parametervärden där ett dynamiskt systems kvalitativa beteende förändras. Detta gäller både kontinuerliga tidssystem som beskrivs av differentialekvationer och diskreta tidssystem som följer av kartor eller itereringar. Vid en bifurkation ändras antalet lösningar, deras stabilitet eller förekomsten av periodiska lösningar när parametervärdet passerar genom ett kritiskt värde.

I kontinuerliga system uppstår bifurkationer när jämviktslösningar förändras sina stabiliteter eller nya jämviktslösningar uppträder eller försvinner. Det kan kopplas till förändringar i linjäriseringens egenvärden, till exempel när ett egenvärde blir noll eller när ett par komplexa egenvärden korsar den imaginära axeln. Liknande fenomen förekommer i diskreta system när antalet fasta punkter eller deras stabilitet ändras.

Vanliga typer av bifurkationer är:

- Saddle-node (tangentbifurkation): två jämvikter skapas eller försvinner när parametern passerar genom μ0, vanligtvis en stabil och en instabil lösning kolliderar och försvinner.

- Transcritical: två jämvikter utbyter stabilitet vid μ0.

- Pitchfork: på grund av systemets symmetri uppstår två nya jämvikter; kan vara super- eller subkritisk beroende på parametrar.

- Hopf-bifurkation: en fast punkt blir instabil och en periodisk lösning (limit cycle) uppstår när ett komplext egenvärde passerar noll i realdel.

Betydelse och användning: bifurkationsteori används för att förstå plötsliga övergångar i natur och teknik, som oscillationer, mönsterbildning och övergångar till kaos, inom områden som fysik, biologi och ingenjörsvetenskap.