Betafunktionen

Die Beta-Funktion, auch Betafunktion genannt, ist eine spezielle Funktion der mathematischen Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie wird häufig mit B(x, y) bezeichnet und durch das Integral B(x, y) = ∫_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt definiert, gültig für komplexe x, y mit Re(x) > 0 und Re(y) > 0. Eine alternative Darstellungsform lautet B(x, y) = ∫_0^∞ t^{x-1} / (1+t)^{x+y} dt, ebenfalls unter denselben Konditionen.

Die Beta-Funktion ist symmetrisch: B(x, y) = B(y, x). Sie steht in enger Beziehung zur Gamma-Funktion: B(x, y) = Γ(x) Γ(y) / Γ(x+y). Für positive ganze Zahlen m und n gilt B(m, n) = (m−1)! (n−1)! / (m+n−1)!. Typische Spezialfälle sind B(x, 1) = 1/x und B(1, y) = 1/y.

In der Statistik tritt die Beta-Funktion als Normalisierungskonstante der Beta-Verteilung auf, deren Dichte auf dem Intervall [0, 1] proportional zu t^{α−1} (1−t)^{β−1} ist und durch Parameter α = x, β = y bestimmt wird. Die Beta-Funktion liefert damit Momente und Integralelemente der Verteilung.

Zu den Erweiterungen gehören die unvollständige Beta-Funktion B_z(a, b) = ∫_0^z t^{a−1} (1−t)^{b−1} dt und die regulierte unvollständige Beta-Funktion I_z(a, b) = B_z(a, b)/B(a, b). Allgemeineren Beta-Beziehungen treten bei der Dirichlet-Verteilung auf, deren Normalisierung B(α) = ∏ Γ(α_i) / Γ(∑ α_i) lautet. Die Beta-Funktion geht auf Leonhard Euler zurück und wird oft als Euler’sche Beta-Funktion bezeichnet; der Name Beta stammt von der späteren Notation durch Legendre.