Autoregressiiviset

Autoregressiiviset mallit ovat aikasarjamalleja, joissa nykyinen arvo X_t riippuu osittain aiemmista arvoista sekä satunnaisesta häiriöstä. Niiden tarkoituksena on kuvata menneisyyden vaikutusta tulevaan sekä tarjota ennusteita seuraaville ajankohdille.

Perusmuoto on AR(p) -malli, jossa X_t = c + φ_1 X_{t-1} + ... + φ_p X_{t-p} + ε_t. Tässä c on vakio, φ_i ovat parametreja ja ε_t on valkoinen kohina, jolla on E[ε_t] = 0 ja Var(ε_t) = σ^2, sekä ε_t on riippumaton aikaisista illoista. Istunnossa p määrittää, kuinka monta aikaisempaa arvoa huomioidaan.

Ominaisuudet ja ehto stationaarisuudelle: AR(p) -malli on stabiili, jos kyseisen mukaisen aiheuttajan neliöintitaso on rajoitettu ja mallin juuret ydinpolynomin keksimisessä sijaitsevat unitin ulkopuolella. Stationaarisuus takaa määritellyn varianssin ja mahdollistaa luotettavat tilastoanalyysit sekä ennusteet. Residuaaleja tarkastellaan muun muassa Ljung-Box -testillä valkoisen kohinan kaltaisiksi.

Estimointi ja mallin valinta: Parametrit φ_i ja c estimataan tavallisesti maksimiluotettavuusperiaatteella tai Yule-Walker -menetelmällä. Mallin order p valitaan usein tiedostettujen informaatiokriteerien, kuten AIC:n tai BIC:n, perusteella. Ennakointi suoritetaan useamman askeleen etäisyydellä sekä arvojen luotettavuuden arviointi.

Sovellukset ja yhteydet: AR-mallit ovat keskeisiä aikasarjaennusteissa taloudessa, teollisuudessa ja signaalinkäsittelyssä. Ne muodostavat osan laajemmista malleista kuten ARMA, ARIMA ja ARMAX, joissa yhdistellään autoregressiivisen osan lisäksi liikkuvan keskiarvon, differoinnin tai eksogeeniset tekijät. Esimerkkinä AR(1): X_t = c + φ X_{t-1} + ε_t, jossa |φ| < 1.

Rajoitukset: mallit olettavat lineaarisen riippuvuuden ja vakion aikadynamiikan. Monimutkaisempia riippuvuuksia varten voi tarvita differointia, ei-lineaarisia malleja tai lisäkomponentteja.