Asendusfunktsioonidena

Asendusfunktsioonidena on matemaatikas mõiste, mida kasutatakse muutujate asendamiseks uute muutujatega, et lihtsustada analüüsi, lahendada võrrandeid või viia probleem soovitud vormi. Need transformatsioonid võivad olla üherindelises või mitmemõõtmelises kontekstis ning neid rakendatakse nii integreerimise, diferentsiaal- võrrandite lahendamise kui ka tõenäosusteooria ja geomeetria valdkondades.

Kõige tuntum näide on integraalide asendus (u-substitution): kui x = g(u) ja dx = g′(u) du, siis ∫ f(x) dx muutub ∫ f(g(u)) g′(u) du. Selline asendus lihtsustab sageli keerulisi sisendeid ja võimaldab integreerimist, mis muidu on raskesti käideldav. Mitmesuunalised või mitmemõõtmelised asendused hõlmavad muutujate nihutamist või ümberkujundamist, kus näiteks x = x(u, v) ja y = y(u, v) kasutab Jacobiani determinants, et muuta integraalide või pindalade mõõtmeid.

Seoses teoreetikaga hõlmavad asendusfunktsioonidena kasutatavaid meetodeid muutujate transformatsiooni üldkirjeldused: muutujate jaotuse või integratsiooniväljundi teisendamine ning muutujate vahelise sõltuvuse lihtsustamine. Neid rakendatakse ka statistikas, kui Y = h(X) on monotoonne ja diferentseeritav, ning tiheduse või jaotuse teisendamine toimub vastavate reeglitega.

Omadused ja piirangud: asendusfunktsioonidena valitud peab olema piisav invertiivsus ja diferentseeruvus piisaval domäänil, et transformatsioon oleks pööratav ning muundamisi saaks korrektsetel tingimustel kasutada. Mitmemõõtmelises ruumis on vajalik Jacobian’i determinant ja sobivad piirid, et vältida tehetuse kaotamist või ruumi katkemist.

Seosed: muutujate muutmine (change of variables), u-substitution ja üldine transformatsiooniteooria annavad selle käsitluse unnaseid aluseid. Näited hõlmavad tihti praktikalisi integreerimis- ja kujundusülesandeid.