Approksimaatioissa

Approksimaatioissa viitataan menetelmiin, joilla tarkoin määritelty arvo tai ratkaisu korvataan lähimmäisellä, käytännöllisellä luvulla. Tavoitteena on saada riittävän tarkka tulos pienemmällä lasku- tai resurssikustannuksella. Approksimaatioita käytetään laajasti matematiikassa, luonnontieteissä, insinööritieteissä ja tietojenkäsittelyssä silloin, kun täsmällinen ratkaisu on vaikea tai epäkäytännöllinen saavuttaa.

Erilaisia lähestymistapoja ovat analyyttiset ja numeeriset approksimaatiot. Analyyttiset lähestymistavat perustuvat suljettuihin kaavoihin tai sarjoihin, kuten Taylor- tai Maclaurin-sarjoihin, joiden avulla funktio voidaan korvata polynomilla tai muulla yksinkertaisemmalla muodolla. Numeeriset menetelmät suorittavat laskut iteratiivisesti tai hajautettuna, usein tietokoneella; tyypillisiä esimerkkejä ovat Newtonin menetelmä, Gaussin eliminaatio ja muut lineaarialgebran sekä optimoinnin menetelmät. Lisäksi ovat asymptoottiset lähestymistavat, jotka kuvaavat käyttäytymistä suurilla arvoilla, sekä interpolaatio- ja Padé-tyyppiset likimääräiset ratkaisut.

Approksimaatioihin liittyy virhe, jonka suuruutta voidaan arvioida sekä analyyttisesti että empiirisesti. Keskeisiä virheitä ovat katkaisu- (truncation) virhe ja pyöristysvirhe. Virhe voidaan pienentää valitsemalla parempi lähestymistapa, kuten korkeampi polynomitaso, useampia iteraatioita tai Padé-tyyppinen muodostus. Konvergenssi tarkoittaa, että arvo lähenee todellista tulosta käytetyn menetelmän kehittyessä.

Sovelluksia ovat muun muassa funktion likimääräistämiset, monimutkaisten integraalien arviointi Monte Carlo -menetelmillä sekä laskennallinen simulointi tekniikassa, fysiikassa ja taloustieteessä. Approksimaatioissa pyritään tasapainottamaan tarkkuus ja kustannukset sekä varmistamaan tulosten käyttökelpoisuus päätöksenteossa.