Maclaurinsarjoihin

Maclaurin-sarjat ovat erityinen Taylor-sarjan muoto, jossa funktio esitetään potenssisarjana pisteen 0 ympärillä. Jos funktio f on riittävän paljon derivoituva ja määritelty lähellä nollaa, sille voidaan kirjoittaa f(x) = sum_{n=0}^\infty f^(n)(0) / n! · x^n. Tämä sarja tunnetaan Maclaurin-sarjana.

Sarjan konvergenssi määräytyy funktion ominaisuuksien mukaan. Tyypillisesti on olemassa säteittäin määritelty konvergenssiradius R > 0 siten, että sarja konvergoi ja antaa funktion arvon kaikilla x, joilla |x| < R. Joissakin tapauksissa konvergenssi ulottuu myös pisteisiin |x| = R; lopullinen totuus näissä tapauksissa riippuu funktiosta.

Esimerkkejä tunnetuista Maclaurin-sarjoista ovat e^x = sum_{n=0}^\infty x^n / n!, sin(x) = sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^{2k+1} / (2k+1)!, ja cos(x) = sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^{2k} / (2k)!. Näiden sarjojen konvergenssi on kaikkialla todellisuuden x:n suhteen, ja ne voivat käyttää hyväkseen lukuisissa analyyseissä ja laskennassa.

Maclaurin-sarja on Taylor-sarjan erityistapaus, jossa keskipiste on 0. Yleinen Taylor-sarja keskitettyyn pisteeseen a on f(x) = sum_{n=0}^\infty f^(n)(a)/n! · (x − a)^n. Maclaurin-polynomi P_n(x) = sum_{k=0}^n f^(k)(0)/k! · x^k antaa jäännöksen R_n(x) kanssa, jonka Lagrangen muotoa käytetään virhe-ennusteen antamiseen. Käytännössä Maclaurin-sarjoja käytetään funktion likiarvoihin lähellä nollaa ja tarjoavat menetelmän jatkuvien funktioiden analysointiin ja numeeriseen laskentaan. Historiaan liittyy Colin Maclaurin, jonka mukaan sarja sai laajemman tuntemuksen 1700-luvulla.