Antikommutaatiosäännöillä

Antikommutaatiosäännöillä, jotka tunnetaan myös nimellä antikommutointisäännöt, on keskeinen rooli kvanttimekaniikassa ja erityisesti kvanttikenttäteoriassa. Ne kuvaavat tiettyjen operaattorien välistä suhdetta, jotka liittyvät fermioneihin. Fermionit ovat alkeishiukkasia, jotka noudattavat Paulin kieltosääntöä, kuten elektronit, protonit ja neutronit. Antikommutaatiosäännöt ilmaistaan matemaattisesti siten, että kahden operaattorin, esimerkiksi luomis- ja tuhoamisoperaattorien, joiden merkinnät ovat usein $a_i$ ja $a_j^\dagger$, kertominen eri järjestyksessä johtaa vastakkaisiin merkkeihin.

Tarkemmin sanottuna, jos meillä on kaksi antikommutointioperaattoria $A$ ja $B$, niiden antikommutaattori määritellään seuraavasti: $\{A, B\} = AB + BA$. Antikommutaatiosäännöt yleisesti ottaen asettavat tämän antikommutaattorin nollaksi, jos $A$ ja $B$ ovat eri tyyppisiä operaattoreita, kuten luomis- ja tuhoamisoperaattorit samoille hiukkasille. Jos operaattorit ovat identtiset, tulos voi olla identiteettioperaattori. Esimerkiksi fermionien tapauksessa luomisoperaattorien $c_i^\dagger$ ja $c_j^\dagger$ antikommutaattori on $\{c_i^\dagger, c_j^\dagger\} = 0$ ja tuhoamisoperaattorien $c_i$ ja $c_j$ antikommutaattori on $\{c_i, c_j\} = 0$. Luomis- ja tuhoamisoperaattoreiden välillä on puolestaan $\{c_i, c_j^\dagger\} = \delta_{ij}$, missä $\delta_{ij}$ on Kroneckerin delta. Nämä säännöt varmistavat Paulin kieltosäännön toteutumisen, eli sen, että kahta identtistä fermionia ei voi olla samassa kvanttitilassa. Ne ovat välttämättömiä kvanttikenttäteorian matemaattisen rakenteen johdonmukaisuudelle ja kyvylle kuvata aineen käyttäytymistä perustasolla.