Aksiomatisk

Aksiomatisk refererer til forholdet til et system som er bygget opp rundt et sett grunnleggende påstander kalt aksiomer. I matematikk og logikk brukes en aksiomatisk tilnærming for å definere objekter og påstander ved å angi hvilke prinsipper som er gyldige uten å bevise dem. Deretter brukes logiske regler til å avlede teoremer fra disse aksiomene.

Aksiomer er påstander som antas sanne uten bevis. Noen er generelle og logiske, mens andre er spesifikke for et fagområde, som geometri eller setteteori. Teoremer blir avledet gjennom regler for bevis, og teoremet betegner resultatet av denne avledningen. Et formelt axiomsystem består av et språk, et sett aksiomer og en eller flere regler for logiske inferenser.

Eksempler som ofte nevnes, inkluderer Peano-aksiomene for naturlige tall, de grundleggende aksiomene i euklidisk geometri og Zermelo–Fraenkel setteteori med valg (ZFC) som et vanlig fundament for moderne matematikk. Aksiomatikk gjør det mulig å undersøke hva som følger av antagelsene, og å sammenligne ulike fundamenter ved å analysere hvilke teoremer som kan utledes.

Historisk har den aksiomatiske metoden spilt en sentral rolle i utviklingen av moderne matematikk. På begynnelsen av 1900-tallet søkte Hilbert å gi geometri et fullstendig og konsistent axiomatisk grunnlag. Gödel viste i 1931 at tilstrekkelig sterke systemer ikke kan være både komplette og konsistente samtidig, noe som påvirket synet på hva som kan bevises innenfor en gitt axiomatisk ramme. Moderne forskning fokuserer blant annet på uavhengighet, konsistens og relativiteten mellom forskjellige aksiomsett.