Adjuktsioonid

Adjuktsioonid on kategooriate teoorias kahe vastastikku seotud funktoriga F: C → D ja G: D → C. Sellisel korral on iga X ∈ C ja Y ∈ D jaoks loomulik isomorfism Hom_D(FX, Y) ≅ Hom_C(X, GY). Selliseid F ja G nimetatakse vasakpoolseks adjunktsiooniks ja parempoolseks adjunktsiooniks (F ⊣ G).

Teine tavapärane kirjeldus kasutab unit’i ja counit’i. On olemas loomulikud transformatsioonid η: Id_C ⇒ G F ja ε: F G ⇒ Id_D, mille jaoks kehtivad triangle-identiteedid: Gε_X ∘ η_{G X} = id_{G X} ja ε_{F X} ∘ F η_X = id_{F X} kõigi X ∈ C. Need tingimused on võrdväärsed Hom-iso loomulike transformatsioonide olemasoluga.

Näited: Set ja Grp vahel on vasakpoolne adjunktsioon F: Set → Grp ehk vabafunktsioon ning unustamisfunktor U: Grp → Set, kus F ⊣ U. Sarnaselt on Set → Mon läbi vabafunktsiooni Monoidide korral ning U: Mon → Set; F ⊣ U. Neid adjunktsioone kirjeldab, kuidas iga abstraktne objekt D-is esitatakse kui “vaba” või universaalne struktuur C-s.

Olulised tõdemused on järgmised: vasakpoolsed adjunktsioonid säilitavad kolimiteid ja parempoolsed adjunktsioonid piirid. Adjuktsioonid annavad sümboolse aluse monaadidele ja koomonaadidele (FG on monaad C-l ning GF koomonaad D-l). Lisaks võimaldavad adjunktsioonid mõista reflektiivseid ja ko-reflektiivseid alakategooriaid universaalsete omaduste kaudu.