adjunktsioon

Adjunktsioon (adjunction) on kahe kategooria C ja D vahel toimuv seos, mis on seotud kahe funktoriga F: C → D ja G: D → C. Sõltuvalt c-st ja d-st on kehtiv loomulik bijektsioon Hom_D(Fc, d) ≅ Hom_C(c, Gd). See bijektsioon peab olema loomulik mõlemas muutuvas c ja d ning kirjeldab, kuidas F ja G “kokkusobivad” omavahel.

Võimalik kirjeldus kasutab üksust ja couniti. On olemas loogiline loomulik unit η: Id_C → G F ja counit ε: F G → Id_D, millel täidetakse triange-identiteedid: (G ε) ∘ η_G = id_G ja ε_F ∘ F η = id_F. Need kirjeldavad adjunktsiooni universaalseid omadusi tuletades kaasa nii- ja vastupidi.

Näited. Tavaline näide on “loositud” adjunktsioon Set ja Monoid vahel. Olgu F: Set → Mon vaba monoid-funkktor ja U: Mon → Set kinnitusfunkktor. Siis on loomulik bijektsioon Hom_Mon(FX, M) ≅ Hom_Set(X, U(M)) iga X, M puhul. Veel üks klassikaline näide on tensorina–Hom-Adjunktsioon vektoritoodetes: Hom_K(V ⊗ W, X) ≅ Hom_K(V, Hom_K(W, X)) iga V, W, X üle sama välja.

Omadused. Vasak pool adjunktsioon (F) säilitab kolmnurgazoole, teisisõnu kolimite, ehk kolmemodelleerimist; parem pool (G) säilitab limitid. Adjunktsioonid peegeldavad väga sageli universaalseid omadusi (nt vabad konstruktsioonid, vabad-forgetful kontekst), ning nende koostisest tekib monaada GF C-l, mis viib edasi monaadide teooriale.

Rakendused. Adjunktsioonid on keskse tähendusega tööriistakogu kattemeel ja universaalsete konstruktsioonide kirjeldamisel; need seostavad erinevaid kategooriaid ja annavad vahendi nii matemaatilisi kui teoreetilisi konstruktsioone analüüsida.