Abstandsvektors

Der Abstandsvektor beschreibt den Vektor, der von einem Punkt A zu einem Punkt B im Raum zeigt. Er wird als AB = r_B − r_A definiert, wobei r_A und r_B die Positionsvektoren von A bzw. B sind. In kartesischen Koordinaten lautet AB = (x_B − x_A, y_B − y_A, z_B − z_A); allgemein gilt AB im n-dimensionalen Raum als Differenz der Positionsvektoren.

Der Abstandsvektor besitzt eine Richtung von A nach B und eine Länge, die der Distanz d(A,B) entspricht. Die Distanz ist der Betrag von AB: d = |AB| = sqrt((x_B − x_A)^2 + (y_B − y_A)^2 + (z_B − z_A)^2). Damit verknüpft der Abstandsvektor die Orientierung mit der räumlichen Trennung der beiden Punkte.

Eigenschaften: Der Abstandsvektor folgt den Regeln der Vektorrechnung. Er addiert sich gemäß AB + BC = AC, und die Dreiecksungleichung gilt: |AC| ≤ |AB| + |BC|. Der Abstandsvektor bleibt unverändert, wenn beide Punkte durch denselben Vektor verschoben werden (Translation). Er eignet sich zur Beschreibung von Relationen zwischen Objekten, unabhängig von der Wahl des Ursprungs.

Anwendungen: In der Kinematik dient Δr = r(t2) − r(t1) als Verschiebung eines Teilchens zwischen zwei Zeitpunkten. Die relative Position zweier Objekte ist r_B − r_A. Abstandsvektoren finden Anwendung in Mechanik, Robotik, Computergrafik und Geometrie, wo sie Entfernung, Richtung und Bewegungszusammenhänge präzise festhalten.