överföringsfunktion

Överföringsfunktion, inom reglerteknik och signalbehandling, beskriver hur en linjär tidsinvariant (LTI) systems indata och utdata förhåller sig i Laplace-domänen. För ett SISO-system är överföringsfunktionen G(s) definierad som Y(s)/U(s) under noll initialvillkor. Om systemet följer en differentialekvation av formen a_n y^{(n)} + ... + a_1 y' + a_0 y = b_m u^{(m)} + ... + b_0, blir G(s)=(b_m s^m + ... + b_0)/(a_n s^n + ... + a_0). Poler är rötterna till nämnaren och nollställningar är rötterna till täljaren.

Överföringsfunktionen kopplar tidsdomänen till frekvensdomänen: impulsresponsen h(t) är invers Laplace-transformen av G(s) och y(t)=h(t) convolverar med indata u(t). Denna relation används för att analysera systemets tätning, stabilitet och frekvenssvar. Genom att sätta s=jω får man frekvensresponserna G(jω), vilket ofta illustreras med Bode- eller Nichols-diagram.

Överföringsfunktionen kan erhållas från ett tillståndsrumssystem x' = Ax + Bu, y = Cx + Du, där G(s) = C (sI - A)^{-1} B + D. För diskrreta system används Z-transformen och H(z) = Y(z)/U(z); stabilitet kräver att poles ligger inom enhetscirkeln. I fallet med flera ingångar och utgångar är G(s) en matris (MIMO), där varje element beskriver överföringen från en viss ingång till en viss utgång.

Exempel: en första ordningens system y' + a y = b u har G(s) = b/(s + a). Ett andra ordningens system med ω_n och dampingfaktor ζ har G(s) = ω_n^2/(s^2 + 2ζ ω_n s + ω_n^2). Överföringsfunktionen är ett centralt verktyg för analys och konstruktion av regler- och filterdesign.