összegezhetabszolút

Összegezhetőséget a valós vagy komplex számokból álló sorokra szokás alkalmazni, és az összefüggésről beszélnek, amikor a sorozat abszolút összegezhető. Egy sorozatot (a_n) akkor mondunk abszolút összegezhetőnek, ha az összeg ∑|a_n| konvergens. Ebben az esetben a sorozat maga is konvergens, és az eredményes összeg független a rendezéstől.

Az abszolút összegzés fontos tulajdonság, hogy megerősíti a sorozat konvergenciáját. Ha ∑|a_n|<∞, akkor ∑ a_n konvergens és az összeget S = ∑ a_n írhatjuk. Továbbá, ha egy sorozat abszolút összegződik, akkor bármely permutációja is ugyanahhoz az S-hez vezet, tehát a rendezés nem megváltoztatja az összegét. Ez a tulajdonság a sorozatok rendezési invarianciája, amely nem igaz általános konvergenciára (csak az abszolút konvergencia esetén).

Példák: a_n = (1/2)^n vagy a_n = 1/n^2 abszolút összegződik, mert ∑|a_n| = ∑(1/2)^n vagy ∑1/n^2 konvergens. Ezzel szemben a_n = (-1)^{n+1}/n nem abszolút összegződik, mert ∑|a_n| = ∑1/n divergens, noha a sorozat maga feltételesen konvergens az Alternáló-harmadik sorozat szabálya szerint.

Általánosításként elmondható, hogy a normált térben (például Banach-térben) ha ∑∥a_n∥ convergens, akkor ∑ a_n értelmes és konvergens a térben. Az abszolút összegezhetőség tehát alapvető eszköz a konvergencia vizsgálatában és a sorozatok manipulálhatóságának megértésében.