Ívhossz

Ívhossz vagy ívhossza a görbe adott szakaszának hosszát jelenti a geometriai értelemben. Formálisan, ha γ:[a,b]→R^2 egy differentiálható görbe, és γ'(t) létezik, akkor a görbe teljes hossza L = ∫_a^b ||γ'(t)|| dt. E formátum általánosítható bármely dimenzióra.

Síkgörbe esetén, ha a görbe ábrázolható y = f(x) formában, akkor L = ∫_a^b sqrt(1 + (f'(x))^2) dx. Parametrikus leírásnál x = x(t), y = y(t), t ∈ [a,b], a hossz L = ∫_a^b sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt. Polár koordinátákban r = r(θ) esetén L = ∫_{θ1}^{θ2} sqrt(r(θ)^2 + (dr/dθ)^2) dθ.

Tulajdonságok: Az ívhossz a görbe geometriai hosszát méri, és invariáns a parametrizációval szemben. Darabokra bontva a hossz összege adja meg a teljes hosszát, feltéve, hogy a görbe darabjai simák vagy módosítottak. Ha a görbe időben halad (pl. egy test mozgása), az ívhossz a sebesség integrálja: L = ∫ |v(t)| dt.

Példák: Egységkör ívhossza a körív hossza, amely R és középpont ismeretében a hossza R·θ. Egységkörön 0 ≤ θ ≤ π/2 esetén L = (π/2)R. Számítását gyakran numerikusan végzik, különösen összetett görbék esetén.

Alkalmazások: útvonaltervezés, fizikai mozgásanalízis, számítógépes grafika és GIS. Az ívhossz-számítás a görbe és a térbeli útvonalak hosszának megadására szolgál, és gyakran a legjobb út hivatkozási alapja lehet a variaciós problémákban.