Énpunktskompaktifikasjonen

énpunktskompaktifikasjonen er en topologisk konstruksjon som gjelder for et ikke-kompakt lokalt kompakt rom X. Den gir et nytt rom X* = X ∪ {∞}, slik at X blir et åpent og tett underrom i X*, og slik at X* blir kompakt under riktig topologi. Av praktiske grunner brukes ofte betegnelsen Alexandroff-kompaktifikasjon.

Konstruksjon og åpne mengder. Anta at X er lokalt kompakt og Hausdorff. Åpne mengder i X* defineres slik: enten er de åpne mengder i X (glemt punktet ∞), eller de har formen X* \ K der K ⊆ X er kompakt. Dette innebærer at alle åpne nabor av ∞ i X* er semantisk sett komplementer av kompakte deler av X. Det følger at ∞ har lokal base av denne typen, og at X = X* \ {∞} er åpent i X*.

Egenskaper. Når X er lokalt kompakt og Hausdorff, blir X* kompakt og Hausdorff; X er et åpent og samtidig tett underrom i X*. Derfor er X blant annet densen i X*. Den ene punktet i X* fungerer som et punkt i «uendeligheten» som komplementerer alle kompakte deler av X.

Eksempler. Énpunktskompaktifikasjonen av den per­solide linjen R er homeomorf til sirkelen S^1; generelt er énpunktskompaktifikasjonen av R^n homeomorf til sfæren S^n.

Se også. Alexandroff-kompaktifikasjon.