Äidwaveletiksi

Äidwaveletiksi (mother wavelet) tarkoitetaan wavelet-teoriassa perusfunktiota ψ(t), josta muodostetaan koko wavelet-perhe skaalaamalla ja siirtämällä sitä. Merkitään ψ(t). Äidwaveletista syntyvät waveletit ψ_{a,b}(t) = (1/√a) ψ((t−b)/a), jossa a > 0 on skaala ja b ∈ R on siirto. Näin voidaan analysoida signaalia eri aikahajotelmissa ja taajuuksilla: pienet skaala-arvot kuvaavat korkeita taajuuksia ja tarkkaa ajallista lokalisaatiota, suuremmat skaala-arvot vastaavat matalampia taajuuksia ja laajempaa ajallista ulottuvuutta.

Äidwaveletin on täytettävä tietyt ehdot: ψ ∈ L^2(R) ja sen keskiarvo on nolla ∫ ψ(t) dt = 0. Admissibility-ehdon mukaan ψ̂(ω) ( Fourier-transform) on sellainen, että ∫ |ψ̂(ω)|^2 / |ω| dω < ∞, mikä mahdollistaa signaalin rekonstruoinnin wavelet-sijoitusten avulla. Usein waveleteilla on lisäksi vanishing moments: ∫ t^m ψ(t) dt = 0 m = 0,1,...,M−1.

Käytännössä äidwaveletista muodostetaan sekä jatkuvaan että diskreettiin aaltometodiin perustuvia analyyseja. CWT:ssa signaali f(t) analysoidaan sovittamalla ψ_{a,b}(t); DWT:ssä skaala- ja siirtoparametrit ovat diskreetteja (esim. a = 2^j, b = k 2^j), jolloin analyysi toteutetaan moniresoluutioisesti.

Esimerkkejä äidwaveleteista ovat Haar-, Daubechies-, Morlet- ja Mexican hat -äidwavelet. Valinta riippuu sovelluksesta ja siitä, millaista aikaa ja taajuutta halutaan korostaa. Äidwavelet on keskeinen käsite signaaleja kuvattaessa, suodatettaessa ja pakattaessa sekä piirteitä erotteltaessa.