Állapotvektor

Állapotvektor olyan matematikai eszköz, amely az adott rendszer aktuális állapotát írja le. Általánosságban olyan vektor, amely tartalmazza mindazon mennyiségeket, amelyekre a modell alapján a jövőbeli viselkedés előrejelzéséhez szükség van. Az állapotvektor mérete és összetétele a vizsgált rendszer típusától függ, és gyakran meghatározza a megfigyelhetőséget és a visszakeresési lehetőségeket.

Klasszikus/dinamikai rendszerekben az állapotvektor x ∈ R^n, amely a rendszer állapotát írja le. A dinamikát általában állapotegyenletek írják le: dx/dt = Ax + Bu (folyamatos idő) vagy x_{k+1} = f(x_k, u_k) (diszkrét idő). A megfigyelések y = Cx + Du lehetnek, amelyek alapján becsülhető az állapot. A kiválasztott állapotvektor nem feltétlenül egyedüli, hiszen többféle megközelítés rendelkezésre állhat a minimalizálás vagy a megfigyelhetőség szempontjai szerint.

Kvantummechanikában az állapotvektor a rendszer állapotát a Hilbert-téren belül írja le, gyakran |ψ⟩ jelöléssel. A normált állapotvektorból származó mérések kimeneteinek valószínűségeit a Born-szabály határozza meg. Az időfejlődés egységsugarú evolúciót követ: iħ d|ψ⟩/dt = H|ψ⟩, vagy időfejlődést leíró Schrödinger-egyenlettel. A tiszta állapot leírható a sűrűségi mátrix ρ formájában is, amely általánosítható keveredett állapotokra is.

Példák: egy kétállapotos (qubit) rendszer állapotát α|0⟩ + β|1⟩ formában írhatjuk, ahol |α|^2 + |β|^2 = 1. Az állapotvektor fogalma tehát a klasszikus és a kvantum rendszerekben egyaránt alapvető, és fontos szerepet játszik a jövőbeli viselkedés leírásában.