yksittäispiste

Yksittäispiste, suomeksi isolated point, on topologian käsite, joka kuvaa pistettä joukossa, jolla on erillinen ympäristö suhteessa muihin pisteisiin. Tarkemmin: Olkoon X topologinen tila ja S ⊆ X. Piste x ∈ S on yksittäispiste, jos on avoin setti U ⊆ X sellainen, että x ∈ U ja U ∩ S = {x}. Tällöin x ei ole S:n raja-arvo (lähestymispiste).

Esimerkkejä: Z R:n standardilaisessa topologiassa jokainen z ∈ Z on yksittäispiste Z:n alijoukossa, koska balli B(z, 1/2) ∩ Z = {z}. Toisaalta S = {1/n : n ∈ N} R:ssä on kokonaisuus, jonka jokainen 1/n on S:n yksittäispiste, mutta 0 on S:n raja-arvo eikä kuulu S:ään. Tämä havainnollistaa eroa yksittäispisteen ja raja-arvon välillä.

Ominaisuudet ja suhteet: Jos x on yksittäispiste S:ssä, niin x ei ole S:n raja-arvo; pienen ympäristön sisällä on vain x. Tämä korostaa eroa. Jos jokainen piste S:ssä on yksittäispiste, niin S on diskreetti alijoukko. Yksittäispisteiden käsite liittyy myös sulkeumaan ja derivoituihin set-teemoihin: S:n raja-arvot muodostavat derivointilaite S', ja Cl(S) = S ∪ S' on S:n sulkeuma. In topologian kontekstissa yksittäispisteet voivat esiintyä sekä äärellisissä että äärettömissä diskreettisissä alijoukoissa ja niiden esiintymiseen vaikuttavat tilan ominaisuudet, kuten kompaktius ja metrinen rakenne.