yksikkökenttää

Yksikkökenttä (unit field) on sileä vektorikenttä, joka määritellään kuvauksen mukaan M:n päällä siten, että pisteessä x ∈ M vektori v(x) on ympäriinsä yksikkö, eli normi ∥v(x)∥ = 1. Tämän vuoksi yksikkökenttä on otettavissa osaksi unit tangent bundleia SM, jolloin se on eräänlainen alueen tai pinnan pisteen suuntaa määräävä tangenttivektori.

Ominaisuudet: Koska ∥v∥^2 ≡ 1, kohdistetut derivaatat täyttävät ⟨∇_X v, v⟩ = 0 kaikille vektorikentän vektorien suhdeisiin X. Toisin sanoen v:n suuntaisten derivaattojen projektiot v:sä ovat kohtisuorassa itse v:n suhteen. Tämä pätee sekä Riemannin geometriaan että tavalliseen Euclidean-tilaan, kun tarkastellaan tangentin ulottuvuuksia.

Integralilinjat: Yksikkökentän potilaat voivat muodostaa integraalilinjat s(t), jotka täyttävät s′(t) = v(s(t)). Tällä parametrisoinnilla käyrä kulkee arkkimittauksella, eli nopeus on aina 1. Integraalilinjat kertovat, miten pisteet liikkuvat kentässä kyydissä kohtisuorien suuntien mukaan.

Esimerkkejä: Yksinkertainen vakaa yksikkökenttä v ≡ e1 on kaikkialla samaa suunnata. Toinen esimerkki on radiaalikenttä v(x) = x/∥x∥, määritelty R^n\{0} -avaruudessa, joka antaa jokaisessa pisteessä vektorin suunnan kohti pistettä origin. Hairy ball -teoreema liittyy yksikkökenttien olemassaoloon tietyillä pinnoilla: esimerkiksi S^2:n tapauksessa ei voi olla jatkuvaa, ei-nollaa yksikkökenttää tangenttina pinnalle.

Käyttötarkoitus: Yksikkökenttiä tutkitaan geometriassa, folioissa ja fysiikassa, kun halutaan analysoida suuntia, tilojen jäsennystä ja käyrien sekä pinnan rakenteita ilman poikkeavaa magnitudia.