Integraalilinjat

Integraalilinjat ovat käsite diffeomorfisessa geometria- ja dynamiikkakontekstissa. Ne ovat käyriä M-nimisessä monistossa tai rajoitetulla alueella, joiden tangentti jokaisessa pisteessään vastaa annetun vektorikentän X suunnasta. Matemaattisesti integraalilinja gamma on smooth mappi, jonka derivaatta toteuttaa gamma'(t) = X(gamma(t)) ja jonka alkuarvo on gamma(0) = p. Tämän vuoksi integraalilinjat kuvaavat sen vektorigrafin liike-uraa, jonka mukaan “hiukkanen” liikkuu vektorikentän mukaan.

Kun X on analysoitava vektorikenttä, integraalilinjat muodostavat yhden-parameterisen virran tai fluxin, joka antaa kokonaisvaltaisen kuvan dynaamisesta järjestelmästä. Autonomisessa järjestelmässä dx/dt = f(x), dy/dt = g(x) integraalilinjat ovat siis ratkaisuja systeemille. Tietyin säännöillä (esimerkiksi Lipschitz-rauhoitus) alkuarvoprosessi p = gamma(0) antaa olemassa olevan ja lokaalisti yksikäsitteisen ratkaisun, jolloin koko perhe integraalilinjia muodostaa virran.

Esimerkki: R^2:ssä vektorikenttä X(x,y) = (y, -x) tuottaa integraalilinjat, jotka ovat ympyröitä origosta. Tämä seuraa liikkeen kursseista x'' + x = 0, jolloin x(t) = A cos t + B sin t ja y(t) = x'(t), ja vektorikentän mukaan liidessä pisteet kiertävät ympyröillä.

Integraalilinjat ovat keskeisiä dynamiikan ja kuvattujen järjestelmien tutkimuksessa. Ne määrittelevät tilan trajektoriat, auttavat hahmottamaan vakauden, ja niitä käytetään usein vaihekuvioissa sekä virran ominaisuuksien tarkastelussa. Lisäksi singularipisteissä X(p) = 0 integraalilinja voi pysähtyä tai rajoittua jakautumattomasti.